Question

10．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边BC于点D，点E是$\widehat{BD}$上一点．
（1）若AC为⊙O的切线，试说明：∠AED=∠CAD；
（2）若AE平分∠BAD，延长DE、AB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠CAD=∠B，根据∠AED=∠B即可证明结论．
（2）只要证明AD∥OE，可得$\frac{AO}{AP}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{3}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC是切线，
∴∠CAB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠DBA，
∵∠DBA=∠AED，
∴∠AED=∠CAD．

（2）解：连接OE．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAB，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴$\frac{AO}{AP}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{3}$，
∴DP=3DE=6．

点评 本题考查切线的性质、直径的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．