Question

5．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点和点O均在网格图的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A₁B₁C₁．
（1）请画出△A₁B₁C₁；
（2）以点O为圆心，$\sqrt{5}$为半径作⊙O，请判断直线AA₁与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A₁B₁C₁即可；
（2）过点O作OD⊥OA于点D，根据勾股定理求出OA的长，再由图形旋转的性质得出OA₁=OA，OD⊥AA₁，
由直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求；

（2）直线AA₁是⊙O的切线．
过点O作OD⊥OA于点D，
∵OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OA₁=OA=$\sqrt{10}$，∠AOA₁=90°，
∴AA₁=$\sqrt{O{A}^{2}+O{A}_{1}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵OA₁=OA，OD⊥AA₁，
∴点D是OA₁的中点，OD=$\frac{1}{2}$AA₁=$\sqrt{5}$．
∵⊙O的半径为$\sqrt{5}$，
∴直线AA₁是⊙O的切线．

点评 本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．