Question

【题目】如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接、，当的面积最大时，点的坐标为_______．

Answer 1

【答案】(,)

【解析】

过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最长距离是DM，当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，先证得△COE∽△CMB，求得OE、CE，再通过证得△COE∽△DNE，求得DN和NE，由此求得答案．

过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，

∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，

令x=0，得y=-3，

令y=9，得x=4

∴A(4,0)，B(0,3)，

∴OA=4，OB=3，
∴AB=

则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，

∴×5×CM=×4×(1+3)，

∴CM=

∴BM=

∴圆C上点到直线的最大距离是DM=1+=

当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，

∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB，

∴△COE∽△CMB，

∴

∴

∴OE=，CE=，

∴ED=1+=

∵DN⊥x轴，
∴DN∥OC，
∴△COE∽△DNE，
∴，即

∴DN=，NE=

∴ON=NEOE==

∴D(,)

∴当△PAB的面积最大时，点P的坐标为(,)

故答案为：(,)