Question

【题目】如图，在矩形中，已知，，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，过点作，交于点，

（1）求证：；

（2）当点是的中点时，求的值；

（3）在点运动过程中，当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE为；（3）BP的值为

【解析】

（1）根据矩形性质得到∠ADC=90°，在四边形ADEP中根据内角和定理得到∠DEP+∠DAP=180°，再根据同角的余角相等即可证明；

（2）连接AC，求出∠ADB=60°，证明△ADP为等边三角形，证明Rt△ADE≌Rt△APE，求出∠DAE=∠PAE=30°，根据，即可求出DE；

（3）过点P作PG⊥AB于G，GP的延长线交DC于H，设PG＝a，AG＝，EH= ，证明△AGP∽△PHE，得到，构造关于a的方程，解方程即可．

（1）证明：∵PE⊥AP，∴∠APE=90°；

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ADC=90°

在四边形ADEP中

∠ADE+∠DEP+∠APE+∠DAP=360°

∴∠DEP+∠DAP=360°-90°-90°=180°

又∵∠DEP+∠PEC=180°

∴∠PAD=∠PEC

（2）连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，AB=，AD=2；

∴

∴∠ADB=60°

∵当点P是BD的中点

∴点P为AC与BD的交点

∴△ADP为等边三角形

∴AP=AD=2

在Rt△ADE和Rt△APE中

∴Rt△ADE≌Rt△APE（HL）

∴∠DAE=∠PAE=30°

∴

∴

答：DE为

(3)如图，过点P作PG⊥AB于G，GP的延长线交DC于H，四边形ABCD是矩形

∴PG⊥DC，

∴GH＝BC＝2，

设PG＝a，则PH＝GH﹣PH＝2﹣a，

在Rt△BGP中，

tan∠PBG＝，

∴BG＝PG＝a，

∴AG＝AB﹣BG＝2﹣a＝（2﹣a），

EH=DH-DE=2﹣a﹣=﹣a

∵PG⊥DC，

∴∠APG+∠EPH＝90°，

∵∠APG+∠PAG＝90°，

∴∠EPH＝∠PAG，

∵∠AGP＝∠PHE＝90°，

∴△AGP∽△PHE，

∴，

∴BP=2PG=

答：BP的值为．