Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点P（0，1）、Q（2，-3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形ABCD的面积；
②连接PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点P、Q的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①根据二次函数和正方形的对称性可知正方形ABCD关于y轴对称，设点A的坐标为（m，2m），代入二次函数解析式求出m的值，再求出2m，然后根据正方形的面积公式列式计算即可得解；
②设AB与y轴交于点F，根据点A的坐标求出AF、PF，然后利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似求出△APF和△PDO相似，根据相似三角形对应角相等可得∠PAF=∠DPO，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DPO=∠ADP，从而得到∠PAF=∠ADP，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点P（0，1）与Q（2，-3），
∴

c=1 -4+2b+c=-3

，
解得：

b=0 c=1

，
∴此二次函数的解析式为y=-x²+1；

（2）①如图，∵二次函数图象关于y轴对称，
∴正方形ABCD关于y轴对称，
设点A的坐标为（m，2m），则-m²+1=2m，
解得m₁=

2

-1，m₂=-

2

-1（舍去），
∴正方形的边长2m=2

2

-2，
∴正方形ABCD的面积=（2

2

-2）²=12-8

2

；

②证明：设AB与y轴交于点F，
∵A（

2

-1，2

2

-2），
∴AF=

2

-1，PF=1-（2

2

-2）=3-2

2

，
∵

PF

AF

=

3-2 2

2 -1

=

2

-1，

OD

OP

=

2 -1

1

=

2

-1，
∴

PF

AF

=

OD

OP

，
又∵∠AFP=∠POD，
∴△APF∽△PDO，
∴∠PAF=∠DPO，
∵AD∥y轴，
∴∠DPO=∠ADP，
∴∠PAF=∠ADP，
又∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴和正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，在第②问中求出两三角形的对应边成比例是解题的关键．