Question

9．如图，△ABD与△ACE中，AB=AC，∠ACE+∠ABD=180°，BD=CE，BC延长线交ED于F．
（1）求证：∠DBF=∠ECF；
（2）图中是否存在与DF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACE+∠ABC+∠DBF=180°和∠ACB+∠ACE+∠ECF=180°结合AB=AC即可证明．
（2）结论：DF=EF，如图延长CF使得CM=BF，由△DBF≌△ECM，得DF=ME，∠DFB=∠M由此即可证明．

解答 （1）证明：∵∠ACE+∠ABD=180°，∠ABD=∠ABC+∠DBF，
∴∠ACE+∠ABC+∠DBF=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB+∠ACE+∠ECF=180°，
∴∠DBF=∠ECF．
（2）结论：DF=EF．
理由：如图延长CF使得CM=BF，
在△DBF和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBF=∠ECM}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ECM，
∴DF=ME，∠DFB=∠M，
∵∠DFB=∠MFE，
∴∠M=∠MFE，
∴ME=EF，
∴DF=EF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、等角的补角相等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．