Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在AC边上取点O为圆心画圆，使⊙O经过A、B两点，下列结论：①AO=2CO；②AO=BC；③以O圆心，OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O于D，则A、B、D是⊙O的三等分点．其中正确的序号是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考点：切线的判定,含30度角的直角三角形

专题：

分析：连接OB，求出OA=OB和∠CBO=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OC，即可判断①、②；
过O作OD⊥AB于D，求出OD=OC，根据切线的判定即可判断③；
根据垂径定理求出DC=BC，求出AD=AB，得出等边三角形，即可判断④．

解答：解：如图1，连接OB，

则OA=OB，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABO=∠A=30°，∠ABC=60°，
∴∠CBO=30°，
∴OB=2OC，
∴AO=2CO，∴①正确；
在Rt△OCB中，∠C=90°，OB＞BC，
∵AO=OB，
∴AO＞BC，∴②错误；
如图2，过O作OD⊥AB于D，

∵∠C=90°，∠ABO=∠CBO=30°，
∴OC=OD，
∴以O圆心，OC为半径的圆与AB相切，∴③正确；
如图3，连接AD，

∵∠ACB=90°，
∴根据垂径定理得：DC=BC，
∴AD=AB，
∵∠ABC=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD=AB=BD，
∴弧AD=弧AB=弧BD，
∴延长BC交⊙O于D，则A、B、D是⊙O的三等分点，∴④正确；
故选D．

点评：本题考查了角平分线性质，含30度角的直角三角形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度偏大．