Question

某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件 （21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．
解答：解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m=kt+b（k≠0），
将，
代入，
解得，
∴m=-2t+96．            （3分）

（2）前20天日销售利润为P₁元，后20天日销售利润为P₂元，
则
=
∴当t=14时，P₁有最大值，为578元．                       （6分）
P₂=（-2t+96）•（30-20）=-20t+960
∵当21≤t≤40时，P₂随t的增大而减小，
∴t=21时，P₂有最大值，为540元．
∵578＞540，
∴第14天日销售利润最大．                   （10分）

（3）
=（12分）
对称轴t=14+2a，
因为a=-，只有当t≤2a+14时，P随t的增大而增大
 又每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，
故：20≤2a+14  
∴a≥3，
即a≥3时，P₁随t的增大而增大，
又a＜4，
∴4＞a≥3．              （14分）
点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；
（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．