Question

5．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E、交AB的延长线于点F，G是EF的中点，连接AG、CG．
（1）求证：BE=BF；
（2）请判断△AGC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质结合角平分线的定义可证得∠ADF=∠BEF=∠CDF=∠F，可证明BE=BF；
（2）连接BG，可证明△AGF≌△CGB，可证得AG=CG，进一步可证明∠AGC=90°，可判定△AGC为等腰直角三角形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠F=∠CDF，∠ADF=∠BEF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADF，
∴∠F=∠BEF，
∴BE=BF；
（2）解：△AGC为等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接BG，

由（1）可知BE=BF，且∠FBE=90°，
∴∠F=45°，
∴AF=AD=BC，
∵G为EF中点，
∴BG=FG，∠EBG=45°，
在△AGF和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=GB}\\{∠F=∠CBG}\\{AF=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△CGB（SAS），
∴AG=CG，∠AGF=∠BGC，
∴∠BGF+∠AGB=∠AGB+∠AGC，
∴∠AGC=∠BGF=90°，
∴△AGC为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质和矩形的性质，在（1）中充分利用矩形的对边分别平行是解题的关键，在（2）构造三角形全等是解题的关键．