Question

已知如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD=mDC时，四边形MENF是正方形，求m的值．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）先根据SAS证明△ABM≌△DCM，得出BM=CM，再根据三角形的中位线定理得出EN=MF，EM=FN，从而根据四条边相等的四边形是菱形得出结论．
（2）可以利用正方形的性质得到MA=AB=MD，从而确定m的值．

解答：解：（1）四边形MENF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM与△DCM中，

AB=CD ∠A=∠D AM=DM

，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM．
∵M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，
∴EN=

1

2

CM=MF，EM=

1

2

BM=FN，
∴ME=EN=NF=FM，
∴四边形MENF是菱形；

（2）当AD=mDC时，四边形MENF是正方形，
∴∠EMF=90°，
由（1）知：Rt△ABM≌Rt△DCM（SAS），
∴∠AMB=∠DMC=45°，
此时MA=MD=DC，
∴AD=2DC，
∴m=2．

点评：本题主要考查了菱形的判定．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．