Question

如图，边长为4的正方形AOCD的顶点A、C分别在y轴和x轴上，点P的坐标为（2，0），以点P为圆心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，DF=DC
（1）求证：DF是半圆P的切线；
（2）求线段DF所在直线的解析式；
（3）求点F的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先利用SSS，得出△PDF≌△PDC，即可得出答案；
（2）由题意得：在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，进而得出E点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）由题意可得出：△EGF∽△EAD，则

EG

EA

=

GF

AD

=

EF

ED

，进而得出GF和OG的长，进而得出F点坐标．

解答：（1）证明：连接PD、PF．
∵正方形AOCD的边长为4，而P的坐标为（2，0），
∴OP=2，即P为BC的中点，有PF=PC，
在△PDF和△PDC中

DF=DC PD=PD PF=PC

∴△PDF≌△PDC（SSS），
得∠PFD=∠PCD，而∠PCD=90°，
∴∠PFD=90°，故DF是半圆P的切线．

（2）解：据题意，显然有EO切圆P于点O，
而EF切圆P于点F，则有EO=EF．
若设EO=x，则EF=x，∴DE=x+4，AE=4-x，
因而在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，
∴（x+4）²=（4-x）²+4²，
解得x=1．
即E点坐标为（0，1）．
又点D为（4，4），
设直线DF的解析式为y=kx+b，那么有

4=4k+b b=1

，
解得

k= 3 4 b=1

．
∴直线DF的解析式为y=

3

4

x+1．

（3）解：据（2）可得，AE=3，DE=5，EF=1．过点F作FG⊥AO于点G，由四边形AOCD为正方形，
显然有△EGF∽△EAD，
则

EG

EA

=

GF

AD

=

EF

ED

，
即

EG

3

=

GF

4

=

1

5

，
∴EG=

3

5

，GF=

4

5

．
∴OG=OE+EG=1+

3

5

=

8

5

．
故点F的坐标为(

4

5

，

8

5

)．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和待定系数法求一次函数解析式和全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出相似图形是解题关键．