Question

4．已知抛物线y₁=（x+2）²-4与抛物线y₂=-（x+2）²+4在同一坐标系中的图象如图所示．直线y=k（k＞0）与两条抛物线分别交于点A、B、C、D．有以下结论：
①当-4＜x＜0时，y₁＜y₂；
②当y₁=y₂时，x=-4；
③若线段AC、AB、BD满足AC+BD=AB，则k=$\frac{12}{5}$；
④若直线y=k与两条抛物线有3个交点时，则k=4；
以上结论正确的序号是①③④．

Answer 1

分析 ①正确．根据图象即可判定．
②错误．当y₁=y₂时，由图象可知，x=-4或0．
③正确．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（x₃，y₃）B（x₄，y₄），由AC+BD=AB，根据对称性可知，AC=BD，推出CD=2AB，推出|x₁-x₂|=2|x₃-x₄），想办法列出方程解决问题即可．
④正确．观察图象即可解决问题．

解答 解：①正确．∵抛物线y₁=（x+2）²-4与抛物线y₂=-（x+2）²+4的交点为（0，0），（-4，0），
由图象可知，当-4＜x＜0时，y₁＜y₂；
②错误．当y₁=y₂时，由图象可知，x=-4或0．
③正确．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（x₃，y₃）B（x₄，y₄），
∵AC+BD=AB，根据对称性可知，AC=BD，
∴CD=2AB，
∴|x₁-x₂|=2|x₃-x₄）
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+4x}\\{y=k}\end{array}\right.$消去y得到，x²+4x-k=0，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16+4k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-4x}\\{y=k}\end{array}\right.$消去y得到x²+4x+k=0，
∴（x₃-x₄）²=16-4k，
∴16+4k=4（16-4k），
∴k=$\frac{12}{5}$．
④正确．∵直线y=k（k＞0）两条抛物线有3个交点时，
∴直线经过抛物线y₂的顶点，
∵y₂的顶点坐标（-2，4），
∴k=4．
故答案为①③④．

点评 本题考查二次函数与系数关系、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会利用图象解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．