Question

4．利用一面长为22米的墙和46米的篱笆围成如图所示的矩形菜地，菜地有2个2米宽的门，门用其它材料．
（1）如何搭建使矩形菜地的面积为200平方米？
（2）如何搭建使矩形菜地的面积最大，最大为多少平方米？

Answer 1

分析 （1）设垂直于墙的篱笆长为x米，则平行于墙的长为：（50-3x）m，利用矩形面积求法得出答案；
（2）利用二次函数增减性得出x=$\frac{28}{3}$时，S最大，进而求出即可．

解答 解：（1）设垂直于墙的篱笆长为x米，则平行于墙的长为：（50-3x）m，
根据题意可得：x（50-3x）=200，
解得：x₁=$\frac{20}{3}$，x₂=10，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{3x＜46}\\{50-3x＞0}\\{50-3x≤22}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{28}{3}$≤x＜$\frac{46}{3}$，
∴x=$\frac{20}{3}$（不合题意舍去），
答：垂直于墙的篱笆长为10米，平行于墙的长为20米；

（2）设总面积为：S平方米，根据题意可得：
S=x（50-3x）=-3x²+50x=-3（x-$\frac{25}{3}$）²+$\frac{625}{3}$，
∵$\frac{28}{3}$≤x＜$\frac{46}{3}$，
∴x=$\frac{28}{3}$时，S最大为：205$\frac{1}{3}$平方米，
答：当宽度为$\frac{28}{3}$m，长度为22米，搭建使矩形菜地的面积最大，最大为205$\frac{1}{3}$平方米．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，根据二次函数增减性得出其最值是解题关键．