Question

1．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点D，且两直线交于点C（2，m）．
（1）求m的值及一次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点P，使线段OP将△AOD的面积分为1：2两部分，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先把点C（2，m）代入y=-3x+3得求得m=-3，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先确定直线y=-3x+3与x轴的交点坐标，然后利用S_△ACD=S_△ABD+S_△ABC进行计算；
（3）当AP：PD=1：2时，过P作PE⊥x轴于E，当AP：PD=2：1时，过P′作P′E′⊥x轴于E′，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）把C（2，m）代入y=-3x+3得m=-3×2+3=-3；
把A（4，0），C（2，-3）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
所以一次函数的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6；

（2）对于y=-3x+3，令y=0，则x=1，则B（1，0）；令x=0，则y=3，则D（0，3）．
则AB=4-1=3，
则S_△ACD=S_△ABD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3×3=9；

（3）存在，
当AP：PD=1：2时，过P作PE⊥x轴于E，
∴△APE∽△ADO，
∴PE：OD=AE：OA=$\frac{1}{3}$，
∴PE=1，AE=$\frac{4}{3}$，
∴OE=$\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，1）；
当AP：PD=2：1时，过P′作P′E′⊥x轴于E′，
∴△AP′E′∽△ADO，
∴P′E′=2，AE′=$\frac{8}{3}$，
∴OE′=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，2），
综上所述：P（$\frac{8}{3}$，1）或（$\frac{4}{3}$，2）．

点评 本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．