Question

12．如图，已知A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（-2，2$\sqrt{3}$）的位置，B旋转到点B′位置．
（1）求B′点坐标．
（2）求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）由A（2$\sqrt{3}$，2）旋转到点A′（-2，2$\sqrt{3}$），易得旋转角为90°，根据逆时针旋转90°后点的横坐标等于旋转前点的纵坐标的相反数，纵坐标等于旋转前点的横坐标可得出B′的坐标；
（2）根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于S_扇形A'OA-S_扇形C'OC，从而根据A，B点坐标知OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$，可得出阴影部分的面积．

解答 解：（1）∵将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A（2$\sqrt{3}$，2）旋转到点A′（-2，2$\sqrt{3}$）的位置，B旋转到点B′位置，
∴∠A′OA=∠B′OB=90°，
∵B（2$\sqrt{3}$，1），
∴B′点坐标为（-1，2$\sqrt{3}$）；

（2）如图，设$\widehat{BB′}$与OA交于点C，与OA′交于点C′，
∵A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），
∴OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$．
根据旋转的性质可得，S_OB′C′=S_OBC，
∴阴影部分的面积=S_扇形A'OA-S_扇形C'OC=$\frac{1}{4}$π×4²-$\frac{1}{4}$π×（$\sqrt{13}$）²=$\frac{3}{4}$π．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解答本题的关键是根据旋转的性质得出S_OB′C′=S_OBC，从而得到阴影部分的表达式．