Question

2．已知m，n是方程x²-3x-1=0的两根，则m³-2m²+4n=13．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到m²-3m-1=0，即m²=3m+1，再把m³-2m²+4n化简用m和n的一次式表示得到m³-2m²+4n=4（m+n）+1，而根据根与系数的关系得到m+n=3，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵m是方程x²-3x-1=0的根，
∴m²-3m-1=0，
∴m²=3m+1，
∴m³-2m²+4n=m（m²-2m）+4n=m（3m+1-2m）+4n=m²+m+4n=3m+1+m+4n=4（m+n）+1，
∵m，n是方程x²-3x-1=0的两根，
∴m+n=3，
∴m³-2m²+4n=4×3+1=13．
故答案为13．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．