题目内容
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=| 1 |
| 2 |
（1）若点A的坐标是（-4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：几何综合题,压轴题
分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即
=
，再根据勾股定理可得OC=
BC，AC=
OC，可求得横坐标为±
c，纵坐标为c．
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即
| BC |
| OB |
| BO |
| AB |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
解答：解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（-4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得，
，
解得
；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4，
∴顶点D的坐标为（-2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=
AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（-2
，2）或（2
，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴
=
，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=
BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=
BC，AC=
OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（-
c，c），
∴顶点横坐标
=
c，b=
c，
∵将A点代入可得c=-（-
c）2+
c•
c+c，
∴横坐标为±
c，纵坐标为c即可，
令c=2，
∴A点坐标可以为（2
，2）或者（-2
，2）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得，
|
解得
|
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4，
∴顶点D的坐标为（-2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=
| 1 |
| 2 |
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（-2
| 2 |
| 2 |
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴
| BC |
| OB |
| BO |
| AB |
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=
| 3 |
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=
| 2 |
| 2 |
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（-
| 2 |
∴顶点横坐标
| b |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
∵将A点代入可得c=-（-
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∴横坐标为±
| 2 |
令c=2，
∴A点坐标可以为（2
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．
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