Question

如图，四边形ABCD、EFGH是两个矩形纸片，边EF在边BC上滑动（E与B、F与C可以重合），过点E作EP∥AC交AB于点P，已知AB=6，AD=8，EF=

9

2

．
（1）求证：EP⊥EM；
（2）设BE=x，阴影部分面积为y，试求y与x之间的函数关系式；并写出x的取值范围以及y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于EP∥AC，若证EP⊥EM，可证EM⊥AC；根据AB、BC、EF、MF的长，可证得Rt△ABC、Rt△EFM的两组直角边对应成比例，即可证得这两个三角形相似，得∠EMF=∠ECA，进而可证得AC⊥EM，由此得证．
（2）设HE、FG与AC的交点为R、Q，可用BE的长表示出EC、FC，再根据∠ACB的正切值，即可得到FQ、ER的长，进而可表示出梯形REFQ的面积，同理可求得△ARN的面积，两者相加即可得到关于y、x的函数关系式，进而可根据函数的性质求得y的最小值及对应的x的值．

解答：解：（1）∵AB=MF=6，BC=8，EF=

9

2

，
∴

AB

BC

=

EF

MF

=

3

4

，
又∵∠ABC=∠EFM=90°，
∴△EFM∽△ABC，
∴∠EMF=∠ACB，
∵∠FQC+∠ACB=90°，
∴∠AQM+∠EMF=90°，即AC⊥EM；
又∵AC∥EP，
∴EP⊥EM．

（2）∵BE=x，
∴EC=8-x，FC=8-

9

2

-x=

7

2

-x．
∵tan∠ACB=

RE

EC

=

AB

BC

=

QF

FC

=

3

4

，
∴RE=

3

4

EC=

3

4

（8-x）=6-

3

4

x，QF=

3

4

FC=

3

4

（

7

2

-x）=

21

8

-

3

4

x，NR=

3

4

x，
由S_阴影=S_△ANR+S_梯形REFQ可得：
y=

3

8

x2-

27

8

x+

621

32

=

3

8

(x-

9

2

)2+

189

16

（0≤x≤

7

2

）；
当x=

7

2

时，y=

195

16

．

点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质以及二次函数最值的应用，难度适中．