Question

12．已知二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）写出点C的坐标；
（2）若点A坐标为（4，0），且△ABC为等腰三角形，求点B坐标；
（3）求出一条过（2）中三点且开口向上的抛物线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）令x=0，即可得出点C的坐标；
（2）分三种情况：?以A为顶点时，求得点B坐标；?以C为顶点时，求得点B坐标；?以B为顶点时，求得点B坐标；?综上所述，B点坐标为（9，0），（-1，0），（-4，0）或者（$\frac{7}{8}$，0）；
（3）若选择点B坐标为（-4，0），把A坐标为（4，0），B坐标为（-4，0），点C（0，-3），代入抛物线的解析式，得出a，b的值，即可得出答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3
∴点C（0，-3），
（2）连接AC，在Rt△AOC中，
AC=$\sqrt{D{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
?以A为顶点时，B₁（9，0），B₂（-1，0）
?以C为顶点时，由题意知CB₃=CA
∵OC⊥AB₃
∴OB₃=OA=4
∴B₃（-4，0）
?以B为顶点时，则B在AC垂直平分线上，
则B₄C=B₄A，
设OB₄=x，则B₄C=B₄A=4-x，
在Rt△OB₄C中，由OB₄²+OC²=B₄C²，
得x²+3²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴B₄（$\frac{7}{8}$，0），
综上所述，B点坐标为（9，0），（-1，0），（-4，0）或者（$\frac{7}{8}$，0）；
（3）若选择B点坐标为（-4，0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-3=0}\\{16a+4b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{16}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{16}$x²-3．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点问题以及等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想是解此题的关键．