Question

1．已知如图，OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE=PF．
（2）将∠EPF绕点P进行旋转，角的两边与OA、OB分别交于E、F两点，问（1）中的结论是否仍然成立．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，由OP平分∠AOB，得到PM=PN，证得∠MPE=∠FPN，推出△PEM≌△PFN（ASA），即可得到结论．

解答 （1）证明：∵OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO，
∴PE=PF；

（2）成立，
理由是：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
则∠PME=∠PNF=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN，
∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PNF}\\{PM=PN}\\{∠MPE=∠NPF}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，