Question

仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题：
OA₂²=（

1

）²+1=2   S₁=

1

2

OA₃²=（

2

）²+1=3   S₂=

2

2

OA₄²=（

3

）2+1=4   S₃=

3

2

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA₆，S₁₀的值；
（3）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：规律型

分析：（1）根据题意可知当n为正整数时，OA_n²=（

n-1

）²+1，S_n=

n

2

；
（2）把n=10，代入到（1）所推出的结论，OA_n²=（

n-1

）²+1，S_n=

n

2

，即可求出OA₆，S₁₀的值；
（3）把n=1，2，3…10，分别代入到（1）所推出的结论S_n=

n

2

，即可求出S₁²，S₂²，S₃²，…S₁₀²的值，即可推出结果．

解答： 解：（1）∵n为正整数，
∴OA_n²=（

n-1

）²+1，S_n=

n

2

，
（2）∵OA_n²=（

n-1

）²+1，S_n=

n

2

，
∴OA₆=

6

，
∴OA₆=

6

，
S₁₀=

10

2

．
（3）∵S_n=

n

2

，
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

9

2

）²+（

10

2

）²=

55

4

．

点评：本题考查了勾股定理，能根据勾股定理进行正确的运算，并能从中得到规律是解题的关键．