Question

13．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）若AB=9cm，BD=3cm，求EC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，AB=BC；等量代换得到∠DAB=∠EDC，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等边三角形的想在得到AB=BC=9cm，求得CD=6cm，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=AB-3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=9cm，∵BD=3cm，
∴CD=6cm，
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
即$\frac{9}{6}=\frac{3}{CE}$，
∴CE=2．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．