Question

17．2015年4月25日14时11分尼泊尔发生了8.1级大地震．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，大地震过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出．
（2）在RT△ADH中，利用三角函数求得：DH=2，AH=2$\sqrt{3}$，在RT△ACH中，利用三角函数求得：AC=2$\sqrt{6}$，CH=2$\sqrt{3}$，进而求出答案．

解答 解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠AEG=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAD=180°-67°-38°=75°．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=2．
∵sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，∴AH=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°-75°-60°=45°，CH=AH=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，CH=AH=2$\sqrt{3}$．
∴AB=AC+CD=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．