Question

8．如图，直线y=x和直线y=-x+5相交于点M，直线PQ⊥x轴，分别交直线y=-x+5和直线y=x于点P、Q，点R是y轴上一点，若△PQR为等腰直角三角形．求点R的坐标．

Answer 1

分析 首先求出PQ的长，分三种情况进行讨论：①如图1，当PR=PQ时，△PQR为等腰直角三角形，根据PQ=PR列方程求得；②如图2，当RQ=PQ时，△PQR为等腰直角三角形，根据PQ=RQ列方程求得；③如图3，当∠PRQ=90°时，△PQR为等腰直角三角形，根据2RB=PQ列方程求得．

解答 解：设直线PQ的解析式为：x=h，
∴P（h，-h+5）、Q（h，h），
∴PQ=-h+5-h=5-2h，
分三种情况：
①如图1，过P作PR⊥y轴于R，连接RQ，
当PR=PQ时，△PQR为等腰直角三角形，
∴h=5-2h，
h=$\frac{5}{3}$，
∴-h+5=-$\frac{5}{3}$+5=$\frac{10}{3}$，
∴R（0，$\frac{10}{3}$）；
②如图2，过Q作QR⊥y轴于R，连接RP，
当RQ=PQ时，△PQR为等腰直角三角形，
∴h=5-2h，
h=$\frac{5}{3}$，
∴R（0，$\frac{5}{3}$）；
③如图3，作线段PQ的中垂线l，交y轴于R，交PQ于B，连接PR、RQ，则PR=RQ，
当∠PRQ=90°时，△PQR为等腰直角三角形，
∴∠PRB=∠QRB=45°，
∴△PBR和△BRQ都是等腰直角三角形，
∴2RB=2BQ=PQ，
则2h=5-2h，
h=$\frac{5}{4}$，
∴OR=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$（5-2h）=$\frac{5}{4}$+$\frac{5}{2}$-h=$\frac{5}{2}$，
∴R（0，$\frac{5}{2}$）；
综上所述，若△PQR为等腰直角三角形．点R的坐标是（0，$\frac{10}{3}$）或（0，$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了两直线相交问题以及等腰直角三角形的性质和判定，有难度，根据数形结合的思想进行分类讨论是解本题的关键，等量关系是根据等腰直角三角形的性质列方程求解，注意不要漏解．