如图.在平面直角坐标系xOy中.已知抛物线y=a与x轴交于B.C两点.与y轴交于点A(0.4).抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．(1)则a=$\frac{4}{5}$,该抛物线的对称轴为x=3,(2)连接AC.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N.使△NAC的面积为14?若存在.请你求出点N的坐标,若不存在.请说明理由,是抛物线上的一点.且它位于对称轴的右侧．若以A.O.M.P为顶点的四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x-1）（x-5）与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，4），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．
（1）则a=$\frac{4}{5}$；该抛物线的对称轴为x=3；
（2）连接AC，在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积为14？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设P（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度是四个连续的正整数，求点P的坐标．

分析（1）首先把x=0，y=4代入y=a（x-1）（x-5），求出a的值是多少；然后求出B、C两点的坐标，确定出该抛物线的对称轴即可．
（2）首先过点N作NG∥y轴交AC于G，求出直线AC的解析式为：y=-$\frac{4}{5}$x+4，设N点的横坐标是t，则此时点N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}t$+4）（0＜t＜5）；然后求出△CAN面积的最大值为多少，判断出是否存在一点N，使△NAC的面积为14即可．
（3）首先判断出以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边：AO=4，OM=3，判断出以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6一种情况，然后证明以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长是3、4、5、6成立，并求出P的坐标是多少即可．

解答解：（1）把x=0，y=4代入y=a（x-1）（x-5），
可得a×（-1）×（-5）=4，
解得a=$\frac{4}{5}$；
∵B、C两点的坐标分别是（1，0）、（5，0），
∴该抛物线的对称轴为x=（5+1）÷2=3，
即该抛物线的对称轴为x=3．

（2）如图1，过点N作NG∥y轴交AC于G，，
抛物线y=$\frac{4}{5}$（x-1）（x-5）=$\frac{4}{5}$x²$-\frac{24}{5}x$+4，
由点A（0，4）和点C（5，0），可得直线AC的解析式为：y=-$\frac{4}{5}$x+4，
设N点的横坐标是t，则此时点N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}t$+4）（0＜t＜5），
把x=t代入y=-$\frac{4}{5}$x+4，
可得G（t，-$\frac{4}{5}$t+4），
此时NG=-$\frac{4}{5}$t+4-（$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}t$+4）=-$\frac{4}{5}$t²+4t，
∴S_△NAC=S_△ANG+S_△CGN=$\frac{1}{2}×5$×（-$\frac{4}{5}$t²+4t）=-2t²+10t=-2${（t-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{25}{2}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，△NAC面积的最大值为：$\frac{25}{2}＜14$，
∴在直线AC下方的抛物线上不存在一点N，使△NAC的面积为14．

（3）如图2，，
以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边：AO=4，OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2，
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6一种情况．
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{{OA}^{2}{+OM}^{2}}$=5，
∵抛物线的对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6，
∴以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长是3、4、5、6成立，
即P（6，4）．
故答案为：$\frac{4}{5}$、x=3．