Question

如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过圆心P，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求反比例函数解析式,勾股定理,切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，用面积法可求出⊙P的半径，然后通过三角形相似可求出CD，从而得到点P的坐标，就可求出k的值．

解答：解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．
则有PD⊥OA，PE⊥AB．
设⊙P的半径为r，
∵AB=5，AC=1，
∴S_△APB=

1

2

AB•PE=

5

2

r，S_△APC=

1

2

AC•PD=

1

2

r．
∵∠AOB=90°，OA=4，AB=5，
∴OB=3．
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

×1×3=

3

2

．
∵S_△ABC=S_△APB+S_△APC，
∴

3

2

=

5

2

r+

1

2

r．
∴r=

1

2

．
∴PD=

1

2

．
∵PD⊥OA，∠AOB=90°，
∴∠PDC=∠BOC=90°．
∴PD∥BO．
∴△PDC∽△BOC．
∴

PD

BO

=

CD

OC

．
∴PD•OC=CD•BO．
∴

1

2

×（4-1）=3CD．
∴CD=

1

2

．
∴OD=OC-CD=3-

1

2

=

5

2

．
∴点P的坐标为（

5

2

，

1

2

）．
∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过圆心P，
∴k=

5

2

×

1

2

=

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．