Question

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁面积为S₁，△B₃D₂C₂面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n面积为S_n，则S_n等于（　　）

• A、

  n

  3 n+1

• B、

  3

  n+1

• C、

  3 n

  n-1

• D、

  3 n

  n+1

Answer 1

分析：由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B₁，B₂，B₃，…B_n在一条直线上，可作出直线B₁B₂．易求得△AB₁C₁的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S₁的值，同理求得S₂的值，继而求得S_n的值．

解答：解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B₁，B₂，B₃，…B_n在一条直线上，作出直线B₁B₂．
∴S_△AB1C1=

1

2

×2×

3

=

3

，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等边△，且边长=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=

3

2

，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=

2 3

3

，
同理：B_nB_n+1：AC_n=1：n，
∴B_nD_n：D_nC_n=1：n，
∴S_n=

3 n

n+1

．
故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．