Question

已知：△ABC内接于圆O，OA是半径，AD⊥BC于D点，

求证：∠BAO=∠DAC．

Answer 1

答案：略
解析：

证法一：过O点作OF⊥AB于E，交圆O于F点，如图所示 ∵O为圆心，∴ ∴∠C的度数等于的度数 ∴∠O=∠C ∵AD⊥BC于D， ∴∠AEO=∠ADC=90° ∴∠BAO=∠DAC 证法二：如图所示，延长AO交圆O于E点， 连接BE 则∠BEA=∠C ∵AO是⊙O的半径 ∴AE为⊙O的直径 ∴∠EBA=90° ∴∠BAO＋∠BEA=90° 在△ABC中，AD⊥BC于D ∴∠C＋∠DAC=90° 又∵∠C=∠BEA ∴∠BAO=∠DAC 证法三：如图所示，延长AO交圆O于E，连接CE ∵AE是直径，∴∠ACE=90° ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90° ∴∠ADB=∠ACE ∵∠B=∠E，∴∠BAD=∠EAC ∵∠DAC=∠EAC－∠EAD， 且∠BAO=∠BAD－∠EAD ∴∠BAO=∠DAC 证法四：如图所示，分别延长AO、AD交圆O于E、F点，连接EF ∵AE是直径 ∴∠F=90°又AD⊥BC ∵∠ADB=90° ∴EF∥BC ∴ ∴∠BAE=∠CAF即∠BAO=∠DAC 四种不同的证法从不同的角度利用了圆周角定理及其推论，证法二和证法三还用到了垂径定理及其推论．这体现了运用知识的灵活性．另外，证题中一些常用辅助线的作法，如作出弦的弦心距，构造直径所对的圆周角等要认真体会．