Question

已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF=∠A．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，首先根据圆周角定理得到∠H=∠A，由HB是直径得到∠HCB=90°，即∠H+∠CBH=90°，然后利用已知条件得到∠CBF+∠CBH=90°，即HB⊥EF，由此即可证明题目结论；
（2）在Rt△HCB中由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根据三角函数可以求出MB，而
S=S_△OBM-S_扇形OBC=

1

2

OB•BM-

60π×22

360

，由此即可求出由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

解答：（1）证明：连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，
则∠H=∠A，∵HB是直径，∴∠HCB=90°
∴∠H+∠CBH=90°．
又∵∠A=∠CBF
∴∠CBF+∠CBH=90°
∴HB⊥EF．
又∵OB是半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，
∴HB=4，OB=2．
∵∠BOM=2∠A=60°，
∴BM=OB×tan60°=2

3

，
S=S_△OBM-S_扇形OBC=

1

2

OB•BM-

60π×22

360

=

1

2

×2×2

3

-

2π

3

=2

3

-

2π

3

．
∴由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积为2

3

-

2π

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质与判定，首先利用切线的判定定理判定切线，然后利用切线的性质和三角函数的定义即可求解．