Question

直线y=

5

2

x+5与x轴、y轴交于A、B两点，过点C（-7，2）作CD⊥x轴于D，连CA．
（1）求证：AC=AB，且AC⊥AB；
（2）在y轴上取点E（0，3），连DE交AB于点P，求∠APD的度数．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据直线解析式求出OA、OB，根据点C的坐标求出CD、OD，再求出AD，然后利用“边角边”证明△AOB和△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AB，全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABO，再求出∠BAC=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC、DE的解析式，设AC、DE相交于点Q，然后联立直线解析式求出点P、Q的坐标，再利用勾股定理列式求出AP²、AQ²，判断出△APQ是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答．

解答：（1）证明：令y=0，则

5

2

x+5=0，解得x=-2，
令x+0，则y=5，
所以，OA=2，OB=5，
∵点C（-7，2），CD⊥x轴，
∴CD=2，OD=7，
∴AD=OD-OA=7-2=5，
∴OA=CD，OB=AD，
在△AOB和△CDA中，

OA=CD ∠ADC=∠AOB=90° OB=AD

，
∴△AOB≌△CDA（SAS），
∴AC=AB，∠CAD=∠ABO，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CDA+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（-7，2），
∴

-2k+b=0 -7k+b=2

，
解得

k=- 2 5 b=- 4 5

，
∴直线AC的解析式为y=-

2

5

x-

4

5

，
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵点D（-7，0），E（0，3），
∴

-7m+n=0 n=3

，
解得

m= 3 7 n=3

，
∴直线DE的解析式为y=

3

7

x+3，
联立

y= 5 2 x+5 y= 3 7 x+3

，
解得

x=- 28 29 y= 75 29

，
∴点P的坐标为（-

28

29

，

75

29

），
设AC、DE相交于点Q，
联立

y=- 2 5 x- 4 5 y= 3 7 x+3

，
解得

x=- 133 29 y= 30 29

，
∴点Q（-

133

29

，

30

29

），
由勾股定理得，AP²=（-

28

29

+2）²+（

75

29

）²=（

30

29

）²+（

75

29

）²，
AQ²=（-2+

133

29

）²+（

30

29

）²=（

75

29

）²+（

30

29

）²，
∴AP²=AQ²，
又∵AC⊥AB，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两直线相交的问题，难点在于（2）联立两直线解析式求出交点坐标并判断出等腰直角三角形．