Question

如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，如图，将△DEF绕点D旋转，点D与AB的中点重合，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，则重叠部分（△DMN）的面积为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解

解答：解：如图所示：
过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=

1

2

BC=3．
∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴

KN

BC

=

DK

AC

，即

KN

6

=

3

8

，得KN=

9

4

．
设DM=MN=x，则MK=x-

9

4

．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-

9

4

）²+3²=x²，解得x=

25

8

，
∴S_△DMN=

1

2

MN•DK=

1

2

×

25

8

×3=

75

16

．
故答案为：

75

16

．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，得出（x-

9

4

）²+3²=x²是解题关键．