题目内容
作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．
探究：
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．21·世纪*教育网
(1) 证明：过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1），∴NP＝NC＝MB．
∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．
又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．………………… 2分
(2)由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．
设AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝
x，BM＝PN＝CN＝1－x ，………………… 3分
∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－
x
∴S△PBC＝
BC•BM＝×1×(1－x)＝－
x，
S△PCQ＝CQ•PN＝×(1－x)(1－x)＝－
x＋x2，
∴S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－x＋1， …………………………… 4分
即y＝x2－x＋1（0≤x＜）． …………………………… 5分2·1·c·n·j·y
(3)△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点Q在边DC上，由PQ2＝CQ2得：(1－ x)2＋(x) 2＝(1－x) 2
解得x1＝0，x2＝(舍去)；
②当点Q在边DC的延长线上（如图2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，
解得x＝1．
③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．
综上所述，x＝0或1时，△PCQ为等腰三角形．…………………………… 8分（每种情况1分）
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口算能手系列答案
D． －
，则点
轴对称的点的坐标是
，当
时，
，则
＝__________。
