Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=$\frac{3}{x}$在第一象限内的图象交于点B（1，3），连接BO，下面三个结论：①S_△AOB=1.5，；②点（x₁，y₁）和点（x₂，y₂）在反比例函数的图象上，若x₁＞x₂，则y₁＜y₂；③不等式x+2＜$\frac{3}{x}$的解集是0＜x＜1．其中正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 ①将y=0代入y=x+2中求出x值，由此即可得出OA的长度，结合点B的纵坐标结合三角形的面积即可求出S_△AOB=3，结论①不正确；②当x₁＞0＞x₂时，可得出y₁＞0＞y₂，结论②不正确；③联立两函数解析式成方程组，解方程组可得出两函数图象的交点坐标，根据两函数图象的上下位置关系结合图形即可得出不等式x+2＜$\frac{3}{x}$的解集是x＜-3或0＜x＜1，结论③不正确．综上即可得出结论．

解答 解：①当y=x+2=0时，x=-2，
∴点A（-2，0），
∴OA=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•|y_B|=$\frac{1}{2}$×2×3=3，结论①不正确；
②当x₁＞0＞x₂时，y₁＞0＞y₂，结论②不正确；
③联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
观察函数图象可知：当x＜-3或0＜x＜1时，直线y=x+2在反比例函数y=$\frac{3}{x}$图象的下方，
∴不等式x+2＜$\frac{3}{x}$的解集是x＜-3或0＜x＜1，结论③不正确．
故选A．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特点、三角形的面积以及反比例函数的性质，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．