Question

已知二次函数y=ax²+bx+c中，当x=-1时，y有最大值4，二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=8，求此二次函数的表达式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据y=ax²+bx+c可以得出-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4，由x₁、x₂为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，就有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，将x₁²+x₂²=8变形建立方程求出其解即可．

解答：解：∵y=ax²+bx+c，
∴y=a（x+-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

．
∵x=-1时，y有最大值4．
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4．
∵x₁、x₂为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵x₁²+x₂²=8，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=8，
∴

b2

a2

-

2c

a

=8，
∴b²-2ac=8a²．

- b 2a =-1 4ac-b2 4a =4 b2-2ac=8a2

，
解得：

a= 4 3 b= 8 3 c= 16 3

．
∴二次函数的表达式为y=

4

3

x²+

8

3

x+

16

3

．

点评：本题考查了二次函数的顶点式的运用，根与系数的关系的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时建立三元一次方程组是关键．