Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，C两点，与y轴交与点B，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若使△ABP的周长最小，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,二次函数的性质

专题：

分析：连接BC，则BC与对称轴的交点P，此时△ABP的周长最小，求出直线BC的解析式后，可得出点P的坐标．

解答：解：令y=0，则 x²-2x-3=0，解得x₁=3，x₂=-1，令x=0，则y=-3，
∴A（-1，0），C（3，0），B（0，-3），
由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点P的位置，
设直线BC解析式为y=kx+b，把B（0，-3），C（3，0）代入得：

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
则直线BC的解析式为y=x-3，
∵抛物线y=x²-2x-3的对称轴x=-

b

2a

=-

-2

2

=1
把x=1代入y=x-3得y=-2，
故点P的坐标为：（-1，2）．
故答案为（-1，2）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．