Question

5．如图，在四边形ABEC中，AB=AC，∠BAC=∠E=90°，AD⊥BE于D．
（1）若BD=3，求AD-CE的值；
（2）若S_四ABEC=16，在（1）中，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CF⊥AD于F，则四边形FDEC是矩形，得到DF=CE，通过△ABD≌△ACF，得到AF=BD=3，于是得到结果AD-CE=AD-DF=3；
（2）如图2，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G，则四边形ADEG是矩形，同理可证得△ABD≌△ACG，得到AG=AD，S_{四边形ADEG}=S_四ABEC=16，推出四边形ADEG是正方形得到AD=4，由勾股定理得到结果AB=$\sqrt{{AD}^{2}{+BD}^{2}}$=5．

解答 解：（1）如图1，过C作CF⊥AD于F，
则四边形FDEC是矩形，
∴DF=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AFC=90°}\\{∠1=∠2}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴AF=BD=3，
∴AD-CE=AD-DF=3；

（2）如图2，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G，
则四边形ADEG是矩形，
同理可证得△ABD≌△ACG，
∴AG=AD，S_{四边形ADEG}=S_四ABEC=16，
∴四边形ADEG是正方形，
∴AD=4，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}{+BD}^{2}}$=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．