Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（8，0），C（0，3），M是OA的中点，动点P从点C出发，沿着在CB以2个单位长度/秒的速度匀速向点B运动，达到点B后停止，连接OP，PM．
（1）点P的坐标为

 

；（用含有r的代数式表示）
（2）求当t为何值时，△OPM是以PM为腰的等腰三角形？
（3）如图2，以PC为直径作⊙D，连接BM，试求t为何值时，⊙D与BM相切？并直接写出⊙D与线段BM有两个交点时，t的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据点的移动规律，求出P点坐标；
（2）分两种情况讨论：①当PM=OP时，则点P在OM的垂直平分线上；②当PM=OM时，过点P作PF⊥OA于点F，再分两种情况讨论：当点F在点M左侧时；当点F在点M右侧时．
（3）当⊙D与BM相切时，设切点为E，根据△BDE∽△MBA列出比例式，求出t的值．

解答：解：（1）P点坐标为（2t，3）．

（2）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（8，0），C（0，3），
∴OC=3，OA=8，
∵M点为OA中点，
∴OM=AM=4，
①当PM=OP时，则点P在OM的垂直平分线上，
∴PC=2，t=1；
②当PM=OM时，如图1，过点P作PF⊥OA于点F，则易得，PF=OC=3，

∴FM=

42-32

=

7

．
当点F在点M左侧时，有PC=OF=4-

7

，∴t=

4- 7

2

．
当点F在点M右侧时，有PC=OF=4+

7

，∴t=

4+ 7

2

．
∴当t=1或t=

4- 7

2

或t=

4+ 7

2

时，△OPM是以PM为腰的等腰三角形．

（3）如图2，当⊙D与BM相切时，设切点为E，连接DE，则DE⊥BE，∠DEB=90°，

∵PC=2t，∴CD=DP=DE=t，BD=8-t．
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，∠OAB=90°，
∴∠AMB=∠CBM，且在直角Rt△ABM中，易得BM=5，
∴△BDE∽△MBA，
∴

DE

AB

=

BD

BM

，即

t

3

=

8-t

5

，
∴t=3，
∴当t=3时，⊙D与BM相切，
⊙D与线段BM有两个交点时，t的取值范围是3＜t≤

25

8

．
故答案为（2t，3）．

点评：本题考查了圆综合题，涉及动点问题和三角形相似及等腰三角形的性质及矩形的性质，要注意进行分类讨论．