Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，AB=

5

，AC=2

5

．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求使S最大时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理可求BC，由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形AOB与三角形CAB相似，由相似得比例，求出OB的长，即可确定出B坐标，进一步得到A、C两点的坐标；
（2）由B与C坐标设出抛物线的交点式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
（3）连接AP，CP，过P作PQ垂直于x轴，设点P（m，n），将x=m代入抛物线解析式表示出P的纵坐标，即为PQ的长，三角形APC面积=梯形APQO面积+三角形PQC面积-三角形AOC面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出S最大时m的值，即可确定出此时P的坐标．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

5

，AC=2

5

，
则BC=

AB2+AC2

=5，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠ACB，
又∵∠B=∠B，
∴△AOB∽△CAB，
∴

AB

CB

=

OB

AB

，即

5

5

=

OB

5

，解得OB=1，
∴OC=5-1=4，
在Rt△AOB中，AB=

5

，OB=1，
则OA=

AB2-OB2

=2，
∴A（0，2），B（-1，0），C（4，0）；

（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
将A（0，2）代入得：2=-4a，即a=-

1

2

，
则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，对称轴为直线x=

3

2

；

（3）连接AP，CP，过P作PQ⊥x轴，交x轴于点Q，
设点P（m，n），将x=m代入抛物线解析式得：n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∵OA=2，OC=4，OQ=m，PQ=-

1

2

m²+

3

2

m+4，QC=4-m，
∴S=S_△APC=S_梯形APQO+S_△PQC-S_△AOC
=

1

2

×m×（2-

1

2

m²+

3

2

m+4）+

1

2

×（4-m）×（-

1

2

m²+

3

2

m+4）-

1

2

×2×4
=-m²+4m+4
=-（m-2）²+8，
∵S关于m的二次函数解析式中二次项系数为-1＜0，即抛物线开口向下，
∴当m=2时，S最大值为8，此时P（2，3）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法确定抛物线解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．