Question

【题目】如图，以为顶点的抛物线交轴于点，，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上有一点，使的值最小，求点的坐标；

（3）在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）存在，当的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．

【解析】

（1）将点B和点C的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；

（2）先求出点A的坐标，利用待定系数法求出BC的解析式，作点O关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点P，连接OP，O′B，根据两点之间线段最短，此时最小，求出点O′的坐标，利用待定系数法求出AO′的解析式，联立方程即可求出结论；

（3）求出顶点D的坐标，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出CD、BC、CD和AC，根据勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出结论．

解：（1）将点B和点C的坐标代入中，得

解得：

∴抛物线的解析式为；

（2）把y=0代入中，得

解得：x1=-2，x2=6，

∴点A的坐标为（-2,0）

设直线BC的解析式为y=kx＋b

将点B和点C的坐标代入，得

解得：

∴直线BC的解析式为

作点O关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点P，连接OP，O′B

根据对称可得PO=PO′，OB=O′B

此时==

根据两点之间线段最短，此时最小

∵OB=OC=6，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∴∠OBO′=90°

∵OB= O′B =6

∴点O′的坐标为（6,6）

设直线AO′的解析式为y=mx＋n

将点A和点O′的坐标代入，得

解得：

∴直线AO′的解析式为

联立

解得：

∴点P的坐标为

（3）∵=

∴点D的坐标为（2,8）

∴

∴CD2＋BC2=80=BD2

∴△BCD为直角三角形，且∠BCD=90°

点Q在点A左侧时，△QAC为钝角三角形，

∴△QAC不可能与△BCD相似

∴点Q必在点A右侧，设点Q的坐标为（q，0），则AQ=q－（-2）=q＋2

∵tan∠CAO=，tan∠BDC=

∴∠CAO=∠BDC

当△CQA∽△BCD时，

∴

即

解得：q=0

∴点Q的坐标为（0,0）；

当△QCA∽△BCD时，

∴

即

解得：q=18

∴点Q的坐标为（18,0）；

综上：点Q的坐标为或．