Question

如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，以下结论：
①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S_△BCD=S_△BOD；④点D到线段BC的距离等于线段OD的长．
其中正确的是

 

（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：常规题型

分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，则由∠C=2∠A；再根据线段的垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DBA=∠A=36°，
所以∠DBA=∠DBC=36°；作DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得DH=OD；利用三角形面积公式得到S_△BOD=S_△BDH．

解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∴∠C=2∠A，所以①正确；
∵AB的垂直平分线OD交AB于点O，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠DBA=∠DBC=36°，即BD平分∠ABC，所以②正确；
作DH⊥BC于H，则DH=OD，OB=OH，所以④正确．
∴S_△BOD=S_△BDH，所以③错误；
故答案为①②④．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和角平分线性质．