Question

如图①，点A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD．
（1）求证：BM=DM；
（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）根据题干中给出的条件可以证明△ABF≌△CDE，可以证明BF=DE，即可证明△BFN≌△DEM，可得BM=DM；
（2）求证方法和（1）相同．

解答：解：（1）∵AE=CF，AF=AE+EF，CE=CF+EF
∴AF=CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，
在RT△ABF和RT△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴△ABF≌△CDE（HL），
∴BF=DE，
在△DEM和△BFM中，

∠EMD=∠FMB ∠DEM=∠BFM=90° DE=BF

，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴BM=DM．
（2）成立，求证如下：
∵AE=CF，AF=AE+EF，CE=CF+EF
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△ABF、△CDE为直角三角形，
在RT△ABF和RT△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴△ABF≌△CDE（HL），
∴BF=DE，
在△DEM和△BFM中，

∠EMD=∠FMB ∠DEM=∠BFM=90° DE=BF

，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴BM=DM．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证BF=DE是解题的关键．