Question

1．已知方程x²+3x-1=0的两实数根为α、β，不解方程求下列各式的值．
（1）α²+β²；      
（2）α³β+αβ³；     
（3）（α-β）²．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到α+β=-3，αβ=-1，
（1）利用完全平方公式变形得到α²+β²=（α+β）²-2αβ，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用因式分解得到α³β+αβ³=αβ（α²+β²）然后利用整体代入的方法计算；
（3）根据完全平方公式变形得到（α-β）²=（α+β）²+4αβ，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得α+β=-3，αβ=-1，
（1）α²+β²=（α+β）²-2αβ=（-3）²-2×（-1）=11；
（2）α³β+αβ³=αβ（α²+β²）=-1×11=-11；
（3）（α-β）²=（α+β）²+4αβ=（-3）²+4×（-1）=5．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了代数式的变形能力．