Question

【题目】如图（1），在中，，点分别是边的中点，连接．

（1）如图①，求的值；

（2）将绕点顺时针旋转到如图（2）的位置时，的大小是否发生变化，若不变化，请说明理由；若发生变化，请求出它的值；

（3）将绕点顺时针旋转到直线的下方，且在同一直线上时，如图（3），求线段的长．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析 （3）

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AC的值，因此，又因为，代入数值即可；

（2）无变化．根据旋转的性质仍然成立，再证明△ACE∽△BCD，得出，又因为，因此，；

（3）当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，利用勾股定理得出，再结合已知条件即可得出AE＝6，又因为，即可得出答案．

解：（1）在Rt△ABC中，，

∵AE=EC，BD=DC，∴ DE∥AB，

∴；

（2）无变化．

证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，∴，∠EDC＝∠B＝90°.

如题图②，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，

∴仍然成立．

又∵∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴.

由（1）可知 .

∴，

∴，

∴的大小不变．

（3）当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，

如图③，由勾股定理可得.

又DE＝2，∴AE＝6.

∵，∴.