Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH面积的最大值为20．

Answer 1

分析 首先连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE，可得AO=CO，继而求得AO的长，易证得△AOE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OE的长，再由当GH=AC时，菱形EGFH面积的最大，即可求得答案．

解答 解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{8}$=$\frac{OE}{4}$，
∴OE=$\sqrt{5}$，
∴EF=2OE=2$\sqrt{5}$，
当GH=AC时，菱形EGFH面积的最大，最大值为：$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20．
故答案为：20．

点评 此题考查了菱形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．