Question

14．如图，已知△ABC，∠B=30°，∠C=60°，AC=2，E是BC边上一点，将△AEC沿AE翻折，点C落在点D处，若DE∥AB，则EC=4-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得DF=2-$\sqrt{3}$，再设CE=DE=x，则EF=1-x，根据Rt△DEF中，EF²+DF²=DE²，得到方程（1-x）²+（2-$\sqrt{3}$）²=x²，解得x=4-2$\sqrt{3}$，进而得到EC=4-2$\sqrt{3}$．

解答 解：如图所示，由折叠可得∠D=∠C=60°，AD=AC=2，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠D=60°，
又∵∠B=30°，
∴∠AFB=90°，即AD⊥BC，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，AF=$\sqrt{3}$，DF=2-$\sqrt{3}$，
设CE=DE=x，则EF=1-x，
∵Rt△DEF中，EF²+DF²=DE²，
∴（1-x）²+（2-$\sqrt{3}$）²=x²，
解得x=4-2$\sqrt{3}$，
∴EC=4-2$\sqrt{3}$．
故答案为：4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解决问题的关键是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．