Question

3．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5$\sqrt{2}$，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是$\frac{13\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，△OEF周长的最小值=MN，由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，于是得到∠MAN=90°，过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP=DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，求得AP=DP=5，根据三角形的中位线的性质得到OQ=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{5}{2}$，BQ=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$（AB-AF）=1，根据勾股定理得到AO=$\sqrt{A{Q}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
∵AD=BC=5$\sqrt{2}$，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{5}{2}$，BQ=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$（AB-AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO=$\sqrt{A{Q}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∴AM=AN=AO=$\frac{13}{2}$，
∴MN=$\sqrt{2}$AM=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴△OEF周长的最小值是$\frac{13\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{13\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的性质的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．