Question

阅读以下短文,然后解决下列问题:

如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.

(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.

(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.

(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.

Answer 1

 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.

(2)此时共有2个“友好矩形”,如图,矩形BCAD,矩形ABEF.

易知,矩形BCAD,矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,

∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.

(3)此时共有3个“友好矩形”,如图中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中矩形ABHK的周长最小.

证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为S.设矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L₁,L₂,L₃,△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则L₁=+2a,L₂=+2b,L₃=+2c.

∴L₁-L₂=-=2(a-b)×,而ab>S,a>b,∴L₁- L₂>0,即L₁> L₂.

同理可得,L₂> L₃,

∴L₃最小,即矩形ABHK的周长最小.