Question

4．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为点B关于直线AC的对称点，连接EB、ED．
（1）求∠BED的度数；
（2）过点B作BE的垂线交EA的延长线于点F，请补全图形，并证明DE=AC+BF．

Answer 1

分析 （1）如图，设直线AC与BE交于N，由点E为点B关于直线AC的对称点，得到AN⊥BE，BN=EN，根据平行四边形的性质得到BO=DO，于是得到AN∥EM，即可得到结论；
（2）延长BA交DE于M，连接FM，由于BF∥AN∥EM，根据平行线等分线段定理得到FA=AE，BA=AM，再根据平行四边形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图，设直线AC与BE交于N，
∵点E为点B关于直线AC的对称点，
∴AN⊥BE，BN=EN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∴AN∥EM，
∴DE⊥BE，
∴∠BED=90°，

（2）如图，过点B作BE的垂线交EA的延长线于点F，过点F作BF∥AN，延长BA交DE于M，连接FM，
∵BE⊥BF，AN⊥BE，BE⊥DE，
∴BF∥AN∥EM，
∵BN=EN，
∴FA=AE，BA=AM，
∴四边形BFME是平行四边形，
∴EM=BF，
∵AC∥DM，CD∥AM，
∴四边形ACDM是平行四边形，
∴DM=AC，
∴DE=EM+DM=AC+BF．

点评 本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理，熟练掌握平分线等分线段定理是解题的关键．