Question

我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i²=-1（即方程x²=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1．那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴的值为

 

．

Answer 1

考点：解一元二次方程-直接开平方法

专题：新定义

分析：i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．

解答：解：由题意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵

2014

4

=503…2，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=i-1．
故答案是：i-1．

点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．