Question

对于二次函数，如果当取任意整数时，函数值都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：）．

（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式         ．（不必证明）

（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如：，等等。

（只要写出一个符合条件的函数解析式）

（2）解：假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线

当时，当时，

由整点抛物线定义知：为整数，为整数，

必为整数．

又当时，是整数，

必为整数，从而应为的整数倍，

，

．

不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线．